مجسم دوراني

منحنى الدوران.

محور الدوران (Axis of Revolution)، إذا دارت منطقة مستوية حول مستقيم في مستواها دورة كاملة (Complete Revolution)، تكون من دورانها مجسم دوراني (Solid of Revolution)، وكان الخط المستقيم الذي دارت حوله هذه المنطقة هو محور الدوران. وهو محور تماثل بالنسبة إلى المجسم الدوراني الناشيء.

حساب الحجم

رموز :

r = نصف القطر

h = الارتفاع

A = المساحة أو مساحة القاعدة

V = الحجم

يتم حساب الحجم بعدة طرق ,منها :

تقوم الطريقة على تقسيم الجسم إلى أقراص غير متناهية.^[1]

محور الدوران هو المحور السيني

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور السينات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة :

{\displaystyle{\displaystyle V=\pi\int_{a}^{b}{\left[R(x)\right]}^{2}\ \mathrm% {d}x}}

حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

محور الدوران هو المحور الصادي

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور الصادات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة :

{\displaystyle{\displaystyle V=\pi\int_{a}^{b}{\left[R(y)\right]}^{2}\ \mathrm% {d}y}}

حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

التكامل الطبقات الاسطوانية

التكامل بالأقراص

تكامل بالأقراص.

${\displaystyle{\displaystyle x=a}}$ and ${\displaystyle{\displaystyle x=b}}$ about the x-axis is given by

{\displaystyle{\displaystyle V=\pi\int_{a}^{b}|f^{2}(x)-g^{2}(x)|\,dx}}

If g(x) = 0 (e.g. revolving an area between curve and x-axis), this reduces to:

{\displaystyle{\displaystyle V=\pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)\,dx\qquad(1)}}

تكامل الطبقات الإسطوانية

Shell integration.

The volume of the solid formed by rotating the area between the curves of ${\displaystyle{\displaystyle f(x)}}$ and ${\displaystyle{\displaystyle g(x)}}$ and the lines ${\displaystyle{\displaystyle x=a}}$ and ${\displaystyle{\displaystyle x=b}}$ about the y-axis is given by

{\displaystyle{\displaystyle V=2\pi\int_{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx}}

If g(x) = 0 (e.g. revolving an area between curve and x-axis), this reduces to:

{\displaystyle{\displaystyle V=2\pi\int_{a}^{b}x|f(x)|\,dx}}

عرض مجسمات دورانية

الأشكال جاسئة

الأشكال متحركة، توضح المجسمات الدورانية المشكـَّلة من كلٍ منهم.

الصيغة الپارامترية

الرياضيات والفن: دراسة مزهرية كمجسم دوراني من پاولو اوتشلو. القرن 15

When a curve is defined by its parametric form $(x (t), y (t))$ in some interval $[a, b]$ , the volumes of the solids generated by revolving the curve around the $x$ -axis or the $y$ -axis are given by^[2]

{\displaystyle{\displaystyle V_{x}=\int_{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac{dx}{dt}}\,dt% \,,}}

{\displaystyle{\displaystyle V_{y}=\int_{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac{dy}{dt}}\,dt% \,.}}

Under the same circumstances the areas of the surfaces of the solids generated by revolving the curve around the $x$ -axis or the $y$ -axis are given by^[3]

{\displaystyle{\displaystyle A_{x}=\int_{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt{\left({\frac{dx}% {dt}}\right)^{2}+\left({\frac{dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,}}

{\displaystyle{\displaystyle A_{y}=\int_{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt{\left({\frac{dx}% {dt}}\right)^{2}+\left({\frac{dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.}}

بعض أنواع المجسمات الدورانية

الأجسام الدورانية متنوعة بتنوع منحنيات الدوال , ولكن هناك أجسام مشهورة منها :

اسم الجسم	ينشأ عن دوران	معادلة المنطقة المستوية	معادلة حساب الحجم
اسطوانة	مستطيل	${\displaystyle{\displaystyle f(x)=r\,}}$	${\displaystyle{\displaystyle V=\pi\int_{0}^{h}f(x)^{2}dx}}$
مخروط	مثلث قائم الزاوية	${\displaystyle{\displaystyle f(x)={\frac{r}{h}}x\,}}$	${\displaystyle{\displaystyle V=\pi\int_{0}^{h}f(x)^{2}dx}}$
كرة	نصف دائرة	${\displaystyle{\displaystyle f(x)={\sqrt{r^{2}-(x-r)^{2}}}\,}}$	${\displaystyle{\displaystyle V=\pi\int_{0}^{2r}f(x)^{2}dx}}$
مخروط ناقص	شبه منحرف	${\displaystyle{\displaystyle f(x)={\frac{r}{h}}\times(x+H)\,}}$ حيث H ارتفاع الجزء الناقص	${\displaystyle{\displaystyle V=\pi\int_{0}^{h}f(x)^{2}dx}}$