تضاؤل أسي

كمية تتحلل أسيـّا طبقا لثابت تحلل يختص بها. ثابت تحلل كبير يعني أن تتحلل الكمية سريعا. وتبين المنحنيات قيم مختلفة لثلبت التحلل : 25, 5, 1, 1/5, و1/25 لقيم x من 0 إلى 5.

يقال عن كمية أنها تتحلل أسيـّا أو تضمحل أسيـّا في الفيزياء النووية والإلكترونيات (بالإنجليزية: exponential decay) عندما يكون معدل اضمحلالها متناسبا مع كميتها. ويمكن التعبير عن عملية كهذه بالمعادلة التفاضلية الآتية ، حيث N الكمية (أو عدد ذرات) و(λ (lambda عدد صحيح يسمى ثابت التحلل :

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{dN}{dt}}=-\lambda N.}}$

وحل تلك المعادلة (أنظر حل المعادلات التفاضلية) تعطينا معادلة الدالة الأسية للأساس الطبيعي e :

${\displaystyle{\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}.\,}}$

حيث :

N(t) الكمية عند الزمن t,

و N₀ = N(0) الكمية الابتدائية عند الزمن t = 0.

 قياس ثابت التحلل

 متوسط العمر

إذا كانت الكمية المتحللة مكونة من عدد من الذرات ، فيمكن حساب متوسط الزمن الذي تبقى فيه الذرة على حالها بدون تحلل. وتسمي متوسط الزمن هذا "متوسط العمر" ${\displaystyle{\displaystyle\tau}}$ . والعلاقة بين متوسط العمر ومعدل التحلل هي:

${\displaystyle{\displaystyle\tau={\frac{1}{\lambda}}.}}$

ويسمى متوسط العمر ${\displaystyle{\displaystyle\tau}}$ أيضا ثابت زمني للاضمحلال ، وهو أحد مكونات أس الثابت الطبيعي e :

${\displaystyle{\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau}.\,}}$

وهو يعطي الزمن الذي يضمحل أو يتحلل فيه النظام بنسبة الثابت الطبيعي e .

كما يمكن كتابة معادلة التحلل في صورة أخرى تستعمل كثيرا - كما يرى أسفله - وهي تعطي الحل في حالة اختيار أساس لأس مساويا 2 بدلا عن e. وذلك الحل يمثل حالة تساوي زمن الاضمحلال بزمن نصف العمر.

(ملحوظة 1 : أس الثابت الطبيعي يكون "دائما " عددا مطلقا (لا وحدات له) ، فنجد فيه ${\displaystyle{\displaystyle\tau}}$ ووحدتها ثانية مثلا وt ووحدتها ثانية أيضا ، فيكون الكسر ${\displaystyle{\displaystyle\tau}}$/tعددا مطلقا.)

(ملحوظة 2: الأس له إشارة سالبة ، مما يعنى أن الدالة في تناقص (اضمحلال). وفي بعض الحالات تكون إشارة الأس موجبة ، وبالتالي تصبح قيمة الدالة في تزايد. تلك حالة تكوّن نجم من سحابة غبار كوني حيث يجمع مادة من حوله وتتزايد كتلته طبقا لدالة أسية موجبة الأس ، حتي يبدأ فيه التفاعل النووي ويصبح نجما مضيئا.)

 عمر النصف

•  مقالة مفصلة: عمر النصف

من الخواص التسهيلية للتحلل الإسي للأساس e حساب الزمن الذي تتحلل أو تضمحل خلاله الكمية إلى نصف مقدارها الأولي. ويسمى ذلك الزمن نصف العمر ، ويرمز له عادة بالرمز t_1/2. ويمكن كتابة نصف العمر بعلاقته بثابت التحلل ، كالآتي:

${\displaystyle{\displaystyle t_{1/2}={\frac{\ln 2}{\lambda}}=\tau\ln 2.}}$

وعند التعويض بتلك المعادلة عن ${\displaystyle{\displaystyle\tau}}$ في المعدلة الأسية أعلاه نحصل على المعادلة:

${\displaystyle{\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.\,}}$

وعندما تكون t = ${\displaystyle{\displaystyle{t_{1/2}}}}$ تصبح 2⁻¹ = 1/2 ، أي تتحلل نصف الكمية الابتدائية. وكذلك بعد مرور 3 فترات من نصف العمر سيتبقى من الكمية الابتدائية الكمية 1/2³ = 1/8.

وهذا معناه أن متوسط العمر ${\displaystyle{\displaystyle\tau}}$ يساوي نصف العمر مقسوما على اللوغاريتم الطبيعي ln2 :

${\displaystyle{\displaystyle\tau={\frac{t_{1/2}}{\ln 2}}=1.442695040888963\cdot t_{1/2}.}}$

وعلى سبيل المثال يبلغ عمر النصف للبولونيوم-210 المشع 138 يوم ويبلغ متوسط العمر له 200 يوم.

 حل المعادلة التفاضلية

المعادلة التي تصف التحلل الأسي (تحلل أسي لأساس الثابت الطبيعي e):

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t)}}$

أو :

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{dN(t)}{N(t)}}=-\lambda dt.}}$

بإجراء التكامل نحصل على:

${\displaystyle{\displaystyle\ln N(t)=-\lambda t+C\,}}$

حيث:

C ثابت التكامل.

وبالتالي:

${\displaystyle{\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,}}$

نعوض عن ${\displaystyle{\displaystyle N_{0}=e^{C}}}$ عن طريق حل المعادلة عند الزمن الابتدائي ${\displaystyle{\displaystyle t=0}}$ حيث أن الكمية الابتدائية كانت ${\displaystyle{\displaystyle N_{0}}}$ عند الزمن الابتدائي ${\displaystyle{\displaystyle t=0}}$.

تلك هي المعادلة الشائعة الاستخدام لوصف التحلل الأسي. وتعطى وحدات ثابت التحلل math> s⁻¹.

 استنتاج متوسط العمر

نفترض مجموعة من الذرات تتحلل باستمرار حتى تتحلل كلها بالكامل، فيكون متوسط العمر ${\displaystyle{\displaystyle\tau}}$ هو الزمن المتوقع لكي تتحلل إحدى الذرات في المجموعة. أي انه إذا كان عمر الذرة الواحدة من المجموعة هو الزمن بين الزمن المرجعي وزمن تحلل الذرة يكون متوسط العمر عبارة عن المتوسط الحسابي لعمر الذرات.

نبدأ بالمعادلة الأصلية للمجموعة :

${\displaystyle{\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}}$

نستخدم c كعدد توحيد normalzation ، يستخدم لمساواة الكمية بالواحد .

${\displaystyle{\displaystyle 1=\int_{0}^{\infty}c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot{\frac{N_{0}}{\lambda}}}}$

أو:

${\displaystyle{\displaystyle c={\frac{\lambda}{N_{0}}}.}}$

يتبين أن التحلل الأسي هو مضاعفات (غير متجهة) للتوزيع الأسي ، أي أن عمر الذرات تكون موزعة توزيعا أسيا يتميز بقيمة متوقعة ، ويمكننا حسابها عن طريق إجراء التكامل الجزئي:

${\displaystyle{\displaystyle\tau=\langle t\rangle=\int_{0}^{\infty}t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int_{0}^{\infty}\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac{1}{\lambda}}.}}$

 عمليات تحلل متوازية

تتحلل بعض العناصر المشعة في عمليات متوازية كل منها له عمر النصف الخاص به ، وتسمى تلك العمليات " قنوات التحلل " وهي تسير جميعها في نفس الوقت.

يكون المعدل الكلي لتحلل الكمية N هو مجموع قنوات التحلل ، أي أنه في حالة التحلل من خلال عمليتين ، يمكن كتابة:

${\displaystyle{\displaystyle-{\frac{dN(t)}{dt}}=N\lambda_{1}+N\lambda_{2}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})N.\,}}$

وحل تلك المسألة قد أجريناه في فصل آخر أعلاه ، حيث عاملنا المجموع ${\displaystyle{\displaystyle\lambda_{1}+\lambda_{2}\,}}$ كثابت تحلل كلي جديد ${\displaystyle{\displaystyle\lambda_{c}\,}}$.

${\displaystyle{\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda_{c})t}.\,}}$

وبما أن ${\displaystyle{\displaystyle\tau=1/\lambda\,}}$، مجموع ل ${\displaystyle{\displaystyle\tau_{c}\,}}$ فيمكن تعيينها من ${\displaystyle{\displaystyle\lambda\,}}$s:

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{\tau_{c}}}=\lambda_{c}=\lambda_{1}+\lambda_{2}={\frac{1}{\tau_{1}}}+{\frac{1}{\tau_{2}}}\,}}$

${\displaystyle{\displaystyle\tau_{c}={\frac{\tau_{1}\tau_{2}}{\tau_{1}+\tau_{2}}}.\,}}$

وعلى ذلك فيمكن القول بأن متوسط العمر لعدة قنوات للتحلل هو المتوسط التوافقي لمتوسطات الأعمار المرتبطة لكل عملية تحلل على حدة مقسومة على عدد العمليات.

وبما أن أنصاف الأعمار تختلف عن متوسط العمر ${\displaystyle{\displaystyle\tau\,}}$ بثابت معين فإن نفس المعادلات تبقى سارية على نصف العمرين المذكورين ، أي أن  :

${\displaystyle{\displaystyle T_{1/2}={\frac{t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}\,}}$

حيث:

${\displaystyle{\displaystyle T_{1/2}}}$ مجموع نصفي العمر للعملية

${\displaystyle{\displaystyle t_{1}}}$ عمر النصف للتحلل الأول,

و ${\displaystyle{\displaystyle t2}}$ عمر النصف للتحلل الثاني.

ولكتابة المعادلة باستخدام ثابتي التحلل ، يصبح عمر النصف الكلي

${\displaystyle{\displaystyle T_{1/2}}}$ موصوفا بالمعادلة :

${\displaystyle{\displaystyle T_{1/2}={\frac{\ln 2}{\lambda_{c}}}={\frac{\ln 2}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}}.\,}}$

وفي حالة تحلل يجري فيها ثلاثة من العمليات متزامنين فيمكن حساب عمر النصف الكلي كما أوضحانا أعلاه عن طريق حساب المتوسط التوافقي لمتوسطات الأعمار الفردية:

${\displaystyle{\displaystyle T_{1/2}={\frac{t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}={\frac{\ln 2}{\lambda_{c}}}={\frac{\ln 2}{\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}}}.\,}}$

 ظواهر تحكمها الدالة الأسية

حالة تفريغ شحنة مكثف كهربي تتبع دالة أسية حيث الثابت الزمني يساوي C.R من خصائص الدارة الكهربية : C = سعة المكثف ، وR = مقاومة في الدارة الكهربائية.

• تتحلل العناصر المشعة طبقا للدالة الأسية كما رئينا أعلاه
• إذا تلامس جسم ساخن بجسم بارد تنتقل الحرارة بينهما طبقا للدالة الأسية عنما يجري ذلك بسرعة بطيئة ، قانون نيوتن للتبريد.
• يعتمد معدل سير التفاعل الكيميائي على تركيز أحد المواد الداخلة في التفاعل أو تركيز كلاهما. تلك الأنواع من التفاعلات تحكمها دالة أسية. كذلك تفاعل الإنزيمات وتفاعل المحفزات تسير طبقا لدالة أسية.
• يقل الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض طبقا لدالة أسية ، ويبلغ معدل انخفاض الضغط بالرتفاع 12% لكل 1000 متر.
• تنخفض شحنة مكثف كهربائي ذو سعة كهربائية C طبقا لدالة أسية في حالة ثبات المقاومة R

ويكون مقدار الثابت الزمني τ للعملية مساويا R C ، وزمن الشحن إلى النصف مساويا R C ln2.

وفي حالة تفريغ مكثف كهربي عبر عدة مقاومات موصلة على التوازي فهذا مثال على عمليات اضمحلال متتابعة حيث تمصل كل مقاومة عملية منفردة. وفي الواقع فإن معادلات توصيل مقاومتين على التوالي أو على التوازي فإنما هي مناظرة لمعادلات التحلل الأسي عن طريق عمليتين.

• تضمحل بعض الاهتزازات طبقا لدالة أسية
• في الصيدلة وعلم السموم فقد وجد أن أدوية عديدة تتفاعل في الجسم طبقا لدالة أسية. وتعطي كل من "عمر النصف ألفا " و" عمر النصف بيتا " في الطب معدل انتشار مادة في الجسم ومعدل اضمحلالها.
• تتغير شدة الموجات الكهرومغناطيسية مثل الضوء وأشعة إكس أو أشعة غاما في وسط يمتصها طبقا لدالة أسية تعتمد على مدى تعمقها في الوسط.

 تطبيقات وأمثلة

Exponential decay occurs in a wide variety of situations. Most of these fall into the domain of the natural sciences.

Many decay processes that are often treated as exponential, are really only exponential so long as the sample is large and the law of large numbers holds. For small samples, a more general analysis is necessary, accounting for a Poisson process.

 العلوم الطبيعية

• Chemical reactions: The rates of certain types of chemical reactions depend on the concentration of one or another reactant. Reactions whose rate depends only on the concentration of one reactant (known as first-order reactions) consequently follow exponential decay. For instance, many enzyme-catalyzed reactions behave this way.
• Electrostatics: In a RC circuit, the electric charge (or, equivalently, the potential) contained in a capacitor (capacitance C) discharges through a constant external load (resistance R) with exponential decay and similarly charges with the mirror image of exponential decay (when the capacitor is charged from a constant voltage source though a constant resistance). The exponential time-constant for the process is ${\displaystyle{\displaystyle\tau=R\,C,}}$ so the half-life is ${\displaystyle{\displaystyle R\,C\,\ln(2).}}$ The same equations can be applied to the dual of current in an inductor.
  • Furthermore, the particular case of a capacitor or inductor changing through several parallel resistors makes an interesting example of multiple decay processes, with each resistor representing a separate process. In fact, the expression for the equivalent resistance of two resistors in parallel mirrors the equation for the half-life with two decay processes.
• Geophysics: Atmospheric pressure decreases approximately exponentially with increasing height above sea level, at a rate of about 12% per 1000m.
• Heat transfer: If an object at one temperature is exposed to a medium of another temperature, the temperature difference between the object and the medium follows exponential decay (in the limit of slow processes; equivalent to "good" heat conduction inside the object, so that its temperature remains relatively uniform through its volume). See also Newton's law of cooling.
• Luminescence: After excitation, the emission intensity – which is proportional to the number of excited atoms or molecules – of a luminescent material decays exponentially. Depending on the number of mechanisms involved, the decay can be mono- or multi-exponential.
• Pharmacology and toxicology: It is found that many administered substances are distributed and metabolized (see clearance) according to exponential decay patterns. The biological half-lives "alpha half-life" and "beta half-life" of a substance measure how quickly a substance is distributed and eliminated.
• Physical optics: The intensity of electromagnetic radiation such as light or X-rays or gamma rays in an absorbent medium, follows an exponential decrease with distance into the absorbing medium. This is known as the Beer-Lambert law.
• Radioactivity: In a sample of a radionuclide that undergoes radioactive decay to a different state, the number of atoms in the original state follows exponential decay as long as the remaining number of atoms is large. The decay product is termed a radiogenic nuclide.
• Thermoelectricity: The decline in resistance of a Negative Temperature Coefficient Thermistor as temperature is increased.
• Vibrations: Some vibrations may decay exponentially; this characteristic is often found in damped mechanical oscillators, and used in creating ADSR envelopes in synthesizers. An overdamped system will simply return to equilibrium via an exponential decay.
• Beer froth: Arnd Leike, of the Ludwig Maximilian University of Munich, won an Ig Nobel Prize for demonstrating that beer froth obeys the law of exponential decay.

 العلوم الاجتماعية

• Finance: a retirement fund will decay exponentially being subject to discrete payout amounts, usually monthly, and an input subject to a continuous interest rate. A differential equation dA/dt = input − output can be written and solved to find the time to reach any amount A, remaining in the fund.
• In simple glottochronology, the (debatable) assumption of a constant decay rate in languages allows one to estimate the age of single languages. (To compute the time of split between two languages requires additional assumptions, independent of exponential decay).

 علم الحاسب

انظر أيضاً: Exponential backoff

• The core routing protocol on the Internet, BGP, has to maintain a routing table in order to remember the paths a packet can be deviated to. When one of these paths repeatedly changes its state from available to not available (and vice versa), the BGP router controlling that path has to repeatedly add and remove the path record from its routing table (flaps the path), thus spending local resources such as CPU and RAM and, even more, broadcasting useless information to peer routers. To prevent this undesired behavior, an algorithm named route flapping damping assigns each route a weight that gets bigger each time the route changes its state and decays exponentially with time. When the weight reaches a certain limit, no more flapping is done, thus suppressing the route.

Graphs comparing doubling times and half lives of exponential growths (bold lines) and decay (faint lines), and their 70/t and 72/t approximations. In the SVG version, hover over a graph to highlight it and its complement.

 انظر أيضا

• دورة CNO
• جسيم بيتا
• اصطياد إلكترون
• تحلل ألفا
• اضمحلال بيتا
• تفاعل نووي
• جدول النظائر

 المراجع

• McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th ed.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (1989), Modern Physics, Fort Worth: Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0-03-004844-3 
• Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill 

 وصلات خارجية

• Exponential decay calculator
• A stochastic simulation of exponential decay
• Tutorial on time constants