تحويل أفيني

صورة كسيري شبيه بالسرخسيات لديه تشابه ذاتي أفينية

في الهندسة الرياضية، التحويل الأفيني بين فضائين شعاعيين (أو بشكل دقيق فضائين أفينيين) يتكون من تحويل خطي يتبع بعملية نقل:

{\displaystyle{\displaystyle x\mapsto Ax+b}}

(أصل كلمة أفين هي من اللغة اللاتينية affinis وتعني "المتصل").

في البعد الأفيني، كل تحويل أفيني يعطى بالمصفوفة A والمتجهة b .

بالمعنى الفيزيائي، التحويل الأفيني هو التحويل الذي يحافظ على:

العلاقة الخطية بين النقاط، أي أن أي ثلاث نقاط واقعة على مستقيم واحد تبقى واقعة على مستقيم بعد التحويل
النسب على طول المستقيم، أي من أجل ثلاث نقاط ${\displaystyle{\displaystyle p_{1}}}$ , ${\displaystyle{\displaystyle p_{2}}}$ , ${\displaystyle{\displaystyle p_{3}}}$ تقع على مستقيم، فإن النسبة ${\displaystyle{\displaystyle|p_{2}-p_{1}|/|p_{3}-p_{2}|}}$ تكون محققة قبل وبعد التحويل.

التعريف الرياضي

الراسم الأفيني ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle f:{\mathcal{A}}\;\to\;{\mathcal{B}}}}$ بين فضائين أفينيين هو راسم يعمل على متجهات، معرفة بأزواج من النقاط، كـتحويل خطي: يوجد تحويل خطي φ بحيث

{\displaystyle{\displaystyle{\overrightarrow{f(P)~{}f(Q)}}=\varphi({% \overrightarrow{PQ}})}}

for any pair of points ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle P,\,Q\,\in\,{\mathcal{A}}}}$ . If an origin ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle O\in{\mathcal{A}}}}$ is chosen, and ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle B\,}}$ denotes its image ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle f(O)\,\in\,{\mathcal{B}}}}$ , then this means that for any vector ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle{\vec{x}}}}$ :

{\displaystyle{\displaystyle f:O+{\vec{x}}\mapsto B+\varphi({\vec{x}}).}}

If an origin ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle O^{\prime}\,\in\,{\mathcal{B}}}}$ is also chosen, this can be decomposed as an affine transformation ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle{\mathcal{A}}\,\to\,{\mathcal{B}}}}$ that sends ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle O\;\mapsto\;O^{\prime}}}$ , namely