قاعدة پاسكال

يجب ألا يـُخلـَط بينها وبين قانون پاسكال.

في الرياضيات، قاعدة پاسكال هي متطابقة توافيقية عن معاملات ثنائيات الحدود. وتنص على أنه لأي عدد طبيعي n يكون لدينا

${\displaystyle{\displaystyle{n-1\choose k}+{n-1\choose k-1}={n\choose k}\quad{\text{for }}1\leq k\leq n}}$

حيث ${\displaystyle{\displaystyle{n\choose k}}}$ هو معامل لثنائية الحدود. ويشيع كتابة ذلك كالتالي

${\displaystyle{\displaystyle{n\choose k}+{n\choose k-1}={n+1\choose k}\quad{\text{for }}1\leq k\leq n+1}}$

 برهان جبري

نحتاج أن نُظهـِر

${\displaystyle{\displaystyle{n\choose k}+{n\choose k-1}={n+1\choose k}.}}$

ولنبدأ بكتابة الطرف الأيسر

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{n!}{k!(n-k)!}}+{\frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!}}.}}$

وبتوحيد المقامات ثم التبسيط، نحصل على

${\displaystyle{\displaystyle{\begin{aligned} &\displaystyle{}\qquad{\frac{n!}{k!(n-k)!}}+{\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}\\ \\ &\displaystyle={\frac{(n-k+1)n!}{(n-k+1)k!(n-k)!}}+{\frac{kn!}{k(k-1)!(n-k+1)!}}\\ \\ &\displaystyle={\frac{(n-k+1)n!+kn!}{k!(n-k+1)!}}\\ \\ &\displaystyle={\frac{(n+1)n!}{k!((n+1)-k)!}}\\ \\ &\displaystyle={\frac{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!}}\\ \\ &\displaystyle={n+1\choose k}.\end{aligned}}}}$

 تعميم

فلنفترض ${\displaystyle{\displaystyle n,k_{1},k_{2},k_{3},\dots,k_{p},p\in\mathbb{N}^{*}\,\!}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots+k_{p}\,\!}}$. ثم

${\displaystyle{\displaystyle{\begin{aligned} &\displaystyle{}\quad{n-1\choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots,k_{p}}+{n-1\choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots,k_{p}}+\cdots+{n-1\choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots,k_{p}-1}\\ &\displaystyle={\frac{(n-1)!}{(k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac{(n-1)!}{k_{1}!(k_{2}-1)!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots+{\frac{(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots(k_{p}-1)!}}\\ &\displaystyle={\frac{k_{1}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac{k_{2}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots+{\frac{k_{p}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac{(k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{p})(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\ &\displaystyle={\frac{n(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac{n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={n\choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots,k_{p}}.\end{aligned}}}}$

 انظر أيضاً

• مثلث پاسكال

 المصادر

• قالب:PlanetMath attribution
• قالب:PlanetMath attribution
• Merris, Russell. Combinatorics. John Wiley & Sons. 2003 ISBN 978-0-471-26296-1

 وصلات خارجية

• Central binomial coefficient على بلانيت ماث
• Binomial coefficient على بلانيت ماث
• Pascal's triangle على بلانيت ماث