مبرهنة الوتر الثابت

الطول الثابت للوتر: ${\displaystyle{\displaystyle|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|}}$

الطول الثابت للقطر: ${\displaystyle{\displaystyle|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|}}$

مبرهنة الوتر الثابت constant chord theorem هي عبارة في الهندسة الابتدائية حول خاصية أوتار معينة في دائرتين متقاطعتين.

الدائرتان ${\displaystyle{\displaystyle k_{1}}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle k_{2}}}$ تتقاطعان في نقطتين ${\displaystyle{\displaystyle P}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle Q}}$. ${\displaystyle{\displaystyle Z_{1}}}$ هي نقطة اختيارية على ${\displaystyle{\displaystyle k_{1}}}$ تختلف عن ${\displaystyle{\displaystyle P}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle Q}}$. الخطان ${\displaystyle{\displaystyle Z_{1}P}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle Z_{1}Q}}$ يقطعان الدائرة ${\displaystyle{\displaystyle k_{2}}}$ في ${\displaystyle{\displaystyle P_{1}}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle Q_{1}}}$. لذلك تنص مبرهنة الوتر الثابت على أن طول الوتر ${\displaystyle{\displaystyle P_{1}Q_{1}}}$ في ${\displaystyle{\displaystyle k_{2}}}$ لا يعتمد على موقع ${\displaystyle{\displaystyle Z_{1}}}$ على ${\displaystyle{\displaystyle k_{1}}}$، بكلمات أخرى: الطول ثابت.

وتبقى المبرهنة سارية حين تتطابق ${\displaystyle{\displaystyle Z_{1}}}$ مع ${\displaystyle{\displaystyle P}}$ أو ${\displaystyle{\displaystyle Q}}$، طالما أن واحدة تستبدل الخط غير المُعرَّف آنذاك ${\displaystyle{\displaystyle Z_{1}P}}$ أو ${\displaystyle{\displaystyle Z_{1}Q}}$ بالمماس على ${\displaystyle{\displaystyle k_{1}}}$ عند ${\displaystyle{\displaystyle Z_{1}}}$.

وتوجد مبرهنة مشابهة في الأبعاد الثلاثة لتقاطع كرتين. الكرتان ${\displaystyle{\displaystyle k_{1}}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle k_{2}}}$ تتقاطعان في الدائرة ${\displaystyle{\displaystyle k_{s}}}$. ${\displaystyle{\displaystyle Z_{1}}}$ هي نقطة اختيارية على سطح الكرة الأولى ${\displaystyle{\displaystyle k_{1}}}$، ليست على دائرة التقاطع ${\displaystyle{\displaystyle k_{s}}}$. القمع الممدد الناشئ عن ${\displaystyle{\displaystyle k_{s}}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle Z_{1}}}$ يتقاطع مع الكرة الثانية ${\displaystyle{\displaystyle k_{2}}}$ في دائرة. طول قطر الدائرة ثابت، أي أنه لا يعتمد على موقع ${\displaystyle{\displaystyle Z_{1}}}$ على ${\displaystyle{\displaystyle k_{1}}}$.

وصف ناثان آلت‌شيلر كورت مبرهنة الوتر الثابت في 1925 في المقال sur deux cercles secants لدورية الرياضيات البلجيكية Mathesis. وبعد ثمانية أعوام نشر On Two Intersecting Spheres في الشهرية الرياضية الأمريكية، التي ضمت النسخة ثلاثية الأبعاد. ولاحقاً تم ضمها لعدد من الكتب المرجعية، مثل كتاب روس هونزبرگر Mathematical Morsels وكتاب روجر نلسن Proof Without Words II، حيث أُعطيت كمسألة، أو في الكتاب المرجعي الألماني للهندسة Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten by Halbeisen, Hungerbühler and Läuchli، حيث اُعطيت كمبرهنة.

 المراجع

• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, p. 16 (German)
• Roger B. Nelsen: Proof Without Words II. MAA, 2000, p. 29
• Ross Honsberger: Mathematical Morsels. MAA, 1979, ISBN 978-0883853030, pp. 126–127
• Nathan Altshiller Court: On Two Intersecting Spheres. The American Mathematical Monthly, Band 40, Nr. 5, 1933, pp. 265–269 (JSTOR)
• Nathan Altshiller-Court: sur deux cercles secants. Mathesis, Band 39, 1925, p. 453 (French)

 وصلات خارجية

• constant chord theorem as problem at cut-the-knot.org